Question

【題目】“星際子彈”被認為是稠密氣體團，它們像彈道式粒子一樣穿過低密度星際氣體云.宇宙某處，有一球狀低密度均勻氣體云，質量為，半徑為，一“星際子彈”的半徑遠小于，質量，子彈對氣體云中心的角動量，子彈的總能量，忽略所有非引力作用.

（1）試問：此子彈的運動是總在云里，總在云外，還是有時在云里有時在云外？

（2）求子彈運動軌道的轉折點與氣體云中心的距離.

（3）討論子彈運動軌道的形狀，并求其運動周期.

Answer 1

【答案】（1）子彈總在云里 （2）， （3）

【解析】

（1）子彈受到氣體云團的萬有引力可表示為

在區域：.

在區域：.

若取無窮遠處為引力勢能的零點，則引力勢能可表示為

在區城：.

在區域：在處的勢能為；在區域內，因所受引力滿足，當取中心為零勢點時，，現取處的勢能為，則在區域內的勢能為.

如圖甲所示為子彈的勢能曲線.由題意可知，子彈的總能量為，而子彈能出現的區域應該有，由圖可知，只有在的區域子彈才有可能出現，而，這就是說，子彈總在云里.

（2）下面討論子彈的轉折點.

引入子彈的有效勢能：

，

式中為子彈對氣體云中心的角動量，本題中

，

所以，.

子彈的機械能為

.

在轉折處，應有，所以，

.

整理得.

此方程的解即為子彈軌道轉折點與氣體云中心的距離，即

，.

（3）由（2）小題中討論計算可知，兩個轉折點和即為如圖乙所示的子彈有效勢能曲線圖中子彈的機械能與有效勢能曲線的兩個交點所在位置.因此，子彈運動為橢圓軌道，其半長軸和半短軸分別為

，，

形狀大致如圖丙所示.可見軌道中共有四個轉折點.由于橢圓的面積為

.

由于子彈相對氣體云中心角動量守恒，可知其面積速率為恒量：

.

故子彈軌道運動的周期為

.

首先，我們應對有效勢能的引入作一說明：當質點在一維勢場中運動時，常采用勢能曲線來討論質點的運動，而當質點在固定力心的引力場中做二維（即二變量、）運動時，為便于討論其矢徑（）的變化范圍，常引進有效勢能，有效勢能由兩部分構成：一部分是引力勢能，另一部分則是其機械能中的橫向速度對應的動能.

由于質點相對固定力心角動量守恒，即，因此，可用來替換，于是有.

可見有效勢能僅是的函數，而體系機械能也只是的函數，即

.

這與質點做一維（一個變量）運動相仿，只要作出有效勢能曲線，就可很方便地討論質點徑向運動的范圍.

其次，本題中系統的引力勢能的表述也是值得關注的，通常情況下，當我們只在氣體團內部進行研究時，我們取中心為勢能零點；當我們只在氣體團外部進行研究時，我們又可取無窮遠處為勢能零點，而將它們統一起來時，我們既可取引力中心為勢能零點，也可取無窮遠處為勢能零點，這樣，其表達式是各不相同的，但并不會影響物體運動時勢能的變化.

這一問題在研究原子時也會出現.

最后，稠密氣體團與“星際子彈”都是不太常見的模型，但通過本題的解答，我們不難看出，它們實際上是衛星與中心天體的變形而已，熟悉了這一思路，在處理“神秘”的天體問題時，一般都不會有大的障礙.