Question

【題目】如圖甲所示，半長軸和半短軸分別為a和b的一個橢圓，假定長軸是豎直方向。有一質量為m的質點沿橢圓的“直徑”下滑，問：此質點沿此橢圓的哪一“直徑”下滑至原點所需的時間最短？

Answer 1

【答案】當時，質點沿過的“直徑”滑下時，到達原點所用的時間最短。當時，質點沿豎直的“直徑”滑下時，到達原點所用的時間最短。

【解析】

如圖乙所示，從球O的最高點A向球面上引一條軌道AC，圖中AB為球面在豎直方向上的直徑，設球的半徑為R，由幾何知識知。

當一質點在重力作用下沿AC滑下時，由牛頓第三定律可知，其加速度為。

則質點由A滑到C所用的時間t滿足，即，所以。

此式表明，質點下滑的時間與無關，亦即與C點的位置無關。

即在球面的最高點與球面上任意一點之間建立一條光滑的直線軌道，讓一質點在重力作用下從球面的頂點沿軌道滑到球面上，則該質點在任意軌道上運動的時間是相等的。

由運動的對稱性，在豎直圓環上向圓環的最低點引直線軌道，質點在重力作用下沿所有的直線軌道運動的時間是相等的。

據此，要確定橢圓的“直徑”，便要找到最低點在原點O且與橢圓內切的圓。設此圓的半徑為R，則圓的方程為。

又該橢圓的方程為，

聯立上述兩方程可得。

若橢圓與圓相切，則y只有一解，所以

。

此時。

由此可得。

此外，R必須滿足，即，解得。

所以，當時，質點沿過的“直徑”滑下時，到達原點所用的時間最短。

當時，質點沿豎直的“直徑”滑下時，到達原點所用的時間最短。