南粵學典學考精練九年級數學人教版
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6. 若$x=\frac{2\pm\sqrt{4-3×(-1)}}{2}$是某個一元二次方程的根，則這個一元二次方程可以是（
D
）
A. $3x^{2}+2x - 1=0$
B. $2x^{2}+4x - 1=0$
C. $-x^{2}-2x + 3=0$
D. $3x^{2}-2x - 1=0$
答案：D
解析：由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，對比已知$x=\frac{2\pm\sqrt{4 - 3×(-1)}}{2}$，可得$-b = 2$，$2a=2$，$b^{2}-4ac=4-3×(-1)=7$。則$a = 1$，$b=-2$，$ac=- \frac{7 - b^{2}}{4}=-\frac{7 - 4}{4}=-\frac{3}{4}$。選項D：$3x^{2}-2x - 1=0$，$a = 3$，$b=-2$，$c=-1$，求根公式為$x=\frac{2\pm\sqrt{4 + 12}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{6}=\frac{2\pm4}{6}$，化簡后與已知形式一致，符合題意。
7. 已知關于$x$的方程$kx^{2}+(1 - k)x - 1=0$，下列說法正確的是（
C
）
A. 當$k = 0$時，方程無實數根
B. 當$k = 1$時，方程有一個實數根
C. 當$k=-1$時，方程有兩個相等的實數根
D. 當$k\neq0$時，方程總有兩個不相等的實數根
答案：C
解析：A. 當$k = 0$時，方程為$x - 1=0$，解得$x = 1$，有實數根，A錯誤；
B. 當$k = 1$時，方程為$x^{2}+0x - 1=0$，即$x^{2}-1 = 0$，解得$x=\pm1$，有兩個實數根，B錯誤；
C. 當$k=-1$時，方程為$-x^{2}+2x - 1=0$，即$x^{2}-2x + 1=0$，$\Delta=4 - 4 = 0$，有兩個相等實數根，C正確；
D. 當$k\neq0$時，$\Delta=(1 - k)^{2}+4k=(k + 1)^{2}\geq0$，當$k=-1$時，$\Delta = 0$，方程有兩個相等實數根，D錯誤。
8. 已知關于$x$的一元二次方程$-x^{2}+(2m + 1)x + 1 - m^{2}=0$無實數根，則$m$的取值范圍是
$m＜-\frac{5}{4}$
。
答案：$m＜-\frac{5}{4}$
解析：方程化為一般式$x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}-1 = 0$，$\Delta=(2m + 1)^{2}-4(m^{2}-1)=4m + 5$。因為方程無實數根，所以$\Delta＜0$，即$4m+5＜0$，解得$m＜-\frac{5}{4}$。
9. 解方程：
（1）$x^{2}-6x + 3=0$；
（2）$2x^{2}-3x - 1=0$
答案：（1）$x_{1}=3+\sqrt{6}$，$x_{2}=3-\sqrt{6}$
解析：$x^{2}-6x=-3$，$x^{2}-6x + 9=6$，$(x - 3)^{2}=6$，$x - 3=\pm\sqrt{6}$，$x=3\pm\sqrt{6}$。
（2）$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$
解析：$a = 2$，$b=-3$，$c=-1$，$\Delta=9 + 8=17$，$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$。
10. 已知關于$x$的一元二次方程$mx^{2}+nx - 2=0$（$m\neq0$）.
（1）
$n^{2}=-8m$
若方程有兩個相等的實數根，求出$m$，$n$的關系；
（2）求證：當$n = m - 2$時，方程總有兩個實數根.
答案：（1）$n^{2}=-8m$
解析：$\Delta=n^{2}+8m = 0$，即$n^{2}=-8m$。
（2）證明：當$n = m - 2$時，$\Delta=(m - 2)^{2}+8m=m^{2}+4m + 4=(m + 2)^{2}\geq0$，所以方程總有兩個實數根。
