Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，以橢圓長(zhǎng)、短軸四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)為四邊形的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)、，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ） 離心率為，以橢圓長(zhǎng)、短軸四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)為四邊形的面積為，結(jié)合,列方程組求得 的值，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）點(diǎn)，直線的方程代入橢圓方程，得，利用韋達(dá)定理解出點(diǎn)坐標(biāo)，同理可求得 點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形面積公式將四邊形面積表示為 的函數(shù)，利用換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)知， ，

又，解得，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）由于對(duì)稱性，可令點(diǎn)，其中.

將直線的方程代入橢圓方程，得，

由， 得，則.

再將直線的方程代入橢圓方程，得，

由， 得，則.

故四邊形的面積為 .

由于，且在上單調(diào)遞增，故，

從而，有.

當(dāng)且僅當(dāng)，即，也就是點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形的面積取最大值6.

注:本題也可先證明”動(dòng)直線恒過橢圓的右焦點(diǎn)”,再將直線的方程 (這里)代入橢圓方程,整理得,然后給出面積表達(dá)式 ,令,

則,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí), .