Question

2012年10月15日，奧地利著名極限運動員鮑姆加特納乘坐熱氣球從距地面高度約39km的高空跳下，并成功著陸．如圖所示．該熱氣球由太空艙，繩索和氣囊三部分組成．氣囊與太空艙之間利用繩索連接．在加熱過程中氣囊中氣體受熱膨脹．密度變小，一部分氣體逸出，當熱氣球總重力小于浮力時便開始上升．
假定鮑姆加特納是在豎直方向上運動的，并經歷了以下幾個運動階段：他首先乘坐熱氣球從地面開始加速上升到離地高h₁=1km處，此階段繩索對太空艙向上的總拉力恒為F₁=3002.5N；接著再勻速上升到離地面高h₂=38km處，此階段繩索對太空艙向上的總拉力恒為F₂=3000N；然后再減速上升到離地高h₃=39km處，此階段繩索對太空艙向上的總拉力恒為F₃=2997.5N；他在上升過程中共用時t₁=1×10⁴s，在離地高39km處立即跳下．自由下落t₂=4min后速度已超過音速，最后打開降落傘，又用時t₃=16min又安全到達地面．忽略髙度對g的影響，取g=10N/kg．求：

①從離開地面到安全返回地面的整個過程中，運動員的平均速度是多少？（結果取整數）
②在熱氣球上升過程中．繩索對太空艙向上的總拉力做功的平均功率是多少？
③當熱氣球上升到離地高20km處．若熱氣球總質量（含氣囊里面氣體）m=7.18×10⁴kg，整個熱氣球的體積V=8×10⁵m³，整個熱氣球受到的空氣阻力f=2×10³N，不考慮氣流（或風） 對熱氣球的影響．則此高度處的空氣密度是多少？

Answer 1

①7m/s；②1.17×10⁴W；③0.09kg/m³．

試題分析：①從離開地面到安全返回地面的過程中，運動員的總路程為s=2h₃=2×39km=78km=7.8×10⁴m；
從離開地面到安全返回地面的過程中，運動員的總時間t=t₁+t₂+t₃=1×10⁴s+4×60s+16×60s=1.12×10⁴s；
從離開地面到安全返回地面的過程中，運動員的平均速度為v==7m/s．
②在熱氣球上升階段，繩索對太空艙向上的總拉力做功有三個階段：
第一階段：W₁=F₁h₁=3002.5N×1000m=3.0025×10⁶J，
第二階段：W₂=F₂（h₂﹣h₁）=3000N×（38000m﹣1000m）=1.11×10⁸J，
第三階段：W₃=F₃（h₃﹣h₂）=2997.5N×（39000m﹣38000m）=2.9975×10⁶J；
上升過程中拉力共做功W=W₁+W₂+W₃=3.0025×10⁶J+1.11×10⁸J+2.9975×10⁶J=1.17×10⁸J，
在整個上升過程中總拉力的平均功率為P==1.17×10⁴W；
③當熱氣球上升到離地高20km處．熱氣球的總重力為G=mg=7.18×10⁴kg×10N/kg=7.18×10⁵N，
此時熱球勻速上升，受平衡力作用，熱氣球受到的空氣浮力為F_浮=G+f=7.18×10⁵N+2×10³N=7.2×10⁵N，
而F_浮=ρ_空氣gV_排，得空氣的密度為ρ_空氣==0.09kg/m³．