Question

如圖所示，橫截面為四分之一圓（半徑為R）的柱體放在水平地面上，一根勻質木棒OA長為3R，重為G．木棒的O端與地面上的鉸鏈連接，木棒擱在柱體上，各處摩擦均不計．現用一水平推力F作用在柱體豎直面上，使柱體沿著水平地面向左緩慢移動．問：
（1）當木棒與地面的夾角θ=30°時，柱體對木棒的彈力多大？
（2）此時水平推力F多大？
（3）在柱體向左緩慢移動過程中，柱體對木棒的彈力及水平推力F分別如何變化？

Answer 1

分析：（1）先求出柱體與木棒間彈力的力臂L_N，木棒重力的力臂LG，然后根據杠桿平衡條件：GL_G=F_NL_N求彈力．
（2）柱體在水平方向受推力F及木棒壓力的分力F₁，在這兩個力的作用下柱體處于平衡狀態，平衡條件可求出水平推力．
（3）先求出彈力L_N及推力F大小的表達式，然后由數學知識tanθ，sinθ，隨θ的增加而增大，來判斷F_N，F大小如何變化．

解答：解：（1）如圖示，重力的力臂LG=

3R

2

cosθ=

3R

2

cos30°=

3R

2

×

3

2

=

3 3 R

4

，柱體與木棒的彈力力臂L_N=

R

tan300

=

3

R，
由杠桿的平衡條件，得：GL_G=F_NL_N，F_N=

GLG

LN

=

G× 3 3 R 4

3R

=

3G

4

（2）柱體在水平方向受水平向左的推力F，水平向右的木棒對柱體壓力的水平分力F₁=F_Nsinθ=F_Nsin30°=

3G

4

×

1

2

=

3G

8

．
柱體緩慢移動可認為柱體在水平方向平衡，由平衡條件得：F=F₁=

3G

8

．
（3）由（1）知L_N=

R

tanθ

，GL_G=F_NL_N，F_N=

GLG

LN

=

GR× 3 2 cosθ

R tanθ

G× 3 3 R 4

R tanθ

=

3

2

Gsinθ，在柱體緩慢向左移動的過程中，θ不斷變大，從而sinθ不斷變大，F_N不斷變大．
在水平方向上，水平推力F=F_Nsinθ，在柱體緩慢向左移動的過程中，θ不斷變大，sinθ不斷增大，F_N不斷變大，所以F不斷變大．
答：（1）柱體對木棒的彈力為

3

4

G．（2）此時水平推力為

3

8

G．（3）在柱體向左緩慢移動過程中，柱體對木棒的彈力及水平推力F都不斷變大．

點評：本題考查了：（1）杠桿平衡問題，求柱體對木棒彈力的關鍵是，準確地求出各力的力臂．
（2）物體的動態平衡問題，解此類題時先求出各力的表達式，再由數學知識討論力如何變化．