Question

某學校科技小組的同學們設計了一個自動沖刷廁所的水箱模型，這種水箱模型能把自來水管供給的較小流量的水儲存到一定量后，自動開啟放水閥門，沖刷便池中的污物．如圖是這種水箱模型的主要部件的截面示意圖．圖中水箱A是一個底面積為200cm²的圓柱桶，桶的深度為60cm，上面敞口．浮筒B是一個質量為m=0.2kg的空心密封圓柱體，其底面積S₁為80cm²，高為30cm；放水閥門C是一個質量可忽略的圓柱體，其底面積S₂為40cm²，厚度d為1cm；放水閥門C能將排水管口恰好蓋嚴，閥門上固定一根輕桿與浮筒相連，桿的長度為L．當水箱中的水深達到H時，浮筒B剛好能將放水閥門C打開．問
（1）請求出水箱中的水深H與輕桿L的函數關系．
（2）當L為多長時，進水管不管進水多長時間也無法把閥門C打開

Answer 1

分析：仔細讀題，明確題意：
（1）當浮筒B所受的浮力大于B的重力與桿的拉力之和時才能將閥門打開，設浮筒B浸入水中深度至少為h時閥門C剛好被打開，根據受力分析與浮力的計算公式求出h，則H=h+d+L；
（2）當浮筒B全部浸沒時浮力仍小于或等于B的重力與桿的拉力之和時，不管進水多長時間都無法把閥門C打開；由（1）中H與L的關系以及H≤30cm+L+d，求出L的長度．

解答：解：由題知：H=60cm；m_B=0.2kg；S₁=80cm²；h_B=30cm；S₂=40cm²；d=1cm；
（1）設浮筒B浸入水中的深度至少為h時閥門C剛好被打開；
方法一：
以B為研究對象，受力分析如圖甲所示：F_浮=G_B+F_拉
以C為研究對象，受力分析如圖乙所示：F_拉′=F_壓
因為F_拉=F_拉′，所以F_浮=G_B+F_壓
即：ρ_水gS₁h=m_Bg+ρ_水gS₂（h+L）
代入數據解得：h=5+L
則水深為：H=h+L+d
即：H=2L+6cm
方法二：
以B和C整體作為研究對象ρg（H-L-d）S₁-ρg（H-d）S₂=mg
解得：H=

S1

S1-S2

L+

m

ρ(S1-S2)

+d
代入數據得：H=2L+6cm
（2）根據題意可知：
H≤30cm+L+d
H≤60cm
H=2L+6cm
由以上3式的L≤25cm
答：（1）水箱中的水深H與輕桿L的函數關系是：H=2L+6cm
（2）當L≤25cm時，進水管不管進水多長時間也無法把閥門C打開．

點評：考查（1）對物體進行受力情況分析．（2）液體內部壓強公式．（3）壓強的定義式．（4）阿基米德原理．（5）運用物理知識解決生產、生活中實際問題的能力． 綜合性強，難度大．