Question

某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經試銷發現，銷售量y件與銷售單價x元符合一次函數y=kx＋b，且x=65時，y="55" 當x=75時，y=45.
（1）求一次函數y=kx＋b的表達式；
（2）若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W元與銷售單價x之間的關系式；銷售單間定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
（3）若該商場獲得利潤不低于500元，試確定銷售單價x的范圍.

Answer 1

（1）y＝－x＋120；（2）W＝－（x－90）²＋900，87，891；（3）70≤x≤87.

解析試題分析：（1）把x=65，y=55、 x=75，y=45代入一次函數y=kx＋b，利用待定系數法即可求出一次函數的表達式；（2）根據題意，總利潤＝每一件服裝的利潤×銷售量，每件服裝的利潤＝每件服裝的售價－每件服裝的成本＝x－60，據此代入計算，然后根據二次函數的性質計算最大值即可；（3）根據題意把W＝500代入（2）中的函數關系式，然后利用二次函數的圖象及其性質即可解答.
試題解析：
（1）當x=65時，y=55時代入y=kx＋b中，得:55＝65k＋b，
當x=75時，y=45時代入y=kx＋b中，得:55＝65k＋b，
解之得：k＝－1，b＝120，
∴y＝－x＋120.
（2）W＝(x－60)(－x＋120)＝－（x－90）²＋900，
∴W＝－（x－90）²＋900，
∵a＝－1＜0，
∴當x＝90時，W最大值為900.
又∵獲利不得高于45%，
∴x≤60＋60×45％，即x≤87.
∴把x＝87代入W＝－（x－90）²＋900中，
∴W＝－（87－90）²＋900＝891，
∴當銷售定價定為87元時，商場獲得的利潤最大，最大利潤為891元.
（3）把W＝500代入W＝－（x－90）²＋900中，
－（x－90）²＋900＝500，
解之得:x₁＝70，x₂＝110.
∴當70≤x≤110時，W≥500，
又∵x≤87，
∴當70≤x≤87時，商場獲得的利潤不少于500元.
考點：1待定系數法求一次函數的表達式，2二次函數的應用.