Question

如圖，拋物線與x軸交于點A(－1，0)、B(3，0)，與y軸交于點C(0，3)．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）若點P是拋物線第一象限上的一個動點，過點P作PQ∥AC交x軸于點Q．當點P的坐標為           時，四邊形PQAC是平行四邊形;當點P的坐標為                 時，四邊形PQAC是等腰梯形. (利用備用圖畫圖，直接寫出結果，不寫求解過程)．
（3）若P為線段BD上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點P的坐標

Answer 1

（1），（1，4）；（2）（2，3）；（）；（3）四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時點P的坐標為（）.

解析試題分析：（1）將拋物線的解析式設為交點式，可用待定系數法較簡捷地求得拋物線的解析式，將其化為頂點式即可求得頂點D的坐標.
（2）①如圖1，四邊形PQAC是平行四邊形時，
∵CP∥x軸，點P在拋物線上，∴點P與點C關于拋物線的對稱軸x=1對稱.
∵C(0，3)，∴P（2，3）.
②如圖2，四邊形PQAC是等腰梯形時，設P（m，），
過點P作PH⊥x軸于點H，則H（m，0）.
易得△ACO∽△QNP，∴.
∵OA=1，OC=3，HP=，∴，即.
∴AQ=AO+OH－QH=。∴.
又由勾股定理得，.
由四邊形PQAC是等腰梯形得AQ=CP，即AQ²=CP²，
∴，整理得，解得或.
當時，由①知CP∥AQ，四邊形PQAC是平行四邊形，不符合條件，舍去.
當時，CP與AQ不平行，符合條件。∴P（）.

（3）求出直線BD的解析式，設定點P的坐標，由列式，根據二次函數最值原理，即可求得四邊形PMAC的面積的最大值和此時點P的坐標.
試題解析：（1）∵拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點A(－1，0)、B(3，0)，
∴可設拋物線的解析式為.
又∵拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0) 與y軸交于點C(0，3)，
∴，解得.
∴拋物線的解析式為，即.
又∵，∴拋物線頂點D的坐標為（1，4）.
（2）（2，3）；（）.
（3）設直線BD的解析式為，
由B（3，0），D（1，4）得，解得.
∴直線BD的解析式為.
∵點P在直線PD上，∴設P（p，）.
則OA=1，OC=3，OM= p，PM=.
∴ .
∵，∴當時，四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時點P的坐標為（）.
考點：1.二次函數綜合題；2.待定系數法；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.二次函數的性質；5.平行四邊形的判定；6.等腰梯形的判定；7.相似三角形的判定和性質勾股定理；8.解一元二次方程.