Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+3的圖象分別交x軸于A點，交y軸于B點，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A、B兩點，并與x軸交于另一點D，頂點為C．

（1）求C、D兩點的坐標；

（2）求tan∠BAC；

（3）在y軸上是否存在一點P，使得以P、B、D三點為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（﹣1，0）（2）（3）存在P（0，0），（0，﹣）

【解析】試題分析：（1）先根據直線y=-x+3求出A、B兩點的坐標，然后將它們代入拋物線中即可求出待定系數的值；根據拋物線的解析式可求出C，D兩點的坐標；

（2）過點C作CE⊥y軸，垂足為點E，則BE=4﹣3=1，CE=1，然后解直角三角形得到∠BAC的正切值；

（3）根據三角形相似的性質和判定，分情況討論：當點P在原點時，當點P在y軸上時，求解即可.

試題解析：（1）把y=0代入得x=3，∴A（3，0），把x=0代入得y=3，∴B（0，3），

把A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c， ，解得：b=2，c=3，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴C（1，4），

把y=0代入y=﹣x2+2x+3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴D（﹣1，0）；

（2）過點C作CE⊥y軸，垂足為點E，則BE=4﹣3=1，CE=1，

∴BC=，∠EBC=∠ECB=45°，又∵OB=OA=3，∴AB=3，∠OBA=∠OAB=45°，

∴∠CBA=180°﹣45°﹣45°=90°，又∵BC=，AB=3∴tan∠BAC==；

（3）存在P（0，0），（0，﹣），當點P在原點時，∠BPD=90°，=，

∴=，∠BPD=∠ABC則△BPD∽△ABC；在Rt△ABC中，BC=，AB=3，∴AC=2，在Rt△BOD中，OD=1，OB=3，∴BD=，當PD⊥BD時，設點P的坐標為（0，y），

當△BDP∽△ABC時, ,即，解得y=﹣，∴點P的坐標為（0,﹣），

∴當P的坐標為（0，0）或（0，﹣）時，以P、B、D三點為頂點的三角形與△ABC相似．