Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形 ABE．點F是對角線BD上一動點（點F不與點B重合），將線段AF繞點A順時針方向旋轉60°得到線段AM，連接FM．

（1）求AO的長；

（2）如圖2，當點F在線段BO上，且點M，F，C三點在同一條直線上時，求證：AC=AM；

（3）連接EM，若△AEM的面積為40，請直接寫出△AFM的周長．

Answer 1

【答案】（1）、5；（2）、證明過程見解析；（3）、3

【解析】

試題分析：（1）、在RT△OAB中，利用勾股定理OA=求解；（2）、由四邊形ABCD是菱形，求出△AFM為等邊三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，在Rt△ACM中tan∠M=，求出AC；（3）、求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面積為40求出BF，在利用勾股定理AF==，得出△AFM的周長為3．

試題解析：（1）、∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB=OD=BD，

∵BD=24，

∴OB=12，

在Rt△OAB中，

∵AB=13，

∴OA==5．

（2）、如圖2，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，

∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，

由已知AF=AM，∠MAF=60°，

∴△AFM為等邊三角形，

∴∠M=∠AFM=60°，

∵點M，F，C三點在同一條直線上，

∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，

∴∠FAC=∠FCA=30°，

∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，

在Rt△ACM中∵tan∠M=，

∴tan60°=，

∴AC=AM．

（3）、如圖，連接EM，

∵△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB，∠EAB=60°，

由（2）知△AFM為等邊三角形，

∴AM=AF，∠MAF=60°，

∴∠EAM=∠BAF，

在△AEM和△ABF中，，

∴△AEM≌△ABF（SAS），

∵△AEM的面積為40，△ABF的高為AO

∴BFAO=40，BF=16，

∴FO=BF﹣BO=16﹣12=4

AF==，

∴△AFM的周長為3．