Question

25、如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點P為BC邊上任意一點，且
PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分別是E、F、G，請你探索PE、PF、BG的長度之間的關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：過點P作PH⊥BG，垂足為H，根據PF⊥CD，BG⊥CD得到四邊形PFGH為矩形，從而得到PF=HG，然后在證得BEP=∠HBP，且BP=BP得到△BPE≌△PHB，進一步得到PE=BH從而證得結論BG=PE+PF．

解答：解：結論：BG=PE+PF，
證明如下：過點P作PH⊥BG，垂足為H，
∵PF⊥CD，BG⊥CD
∴四邊形PFGH為矩形．
∴PF=HG．
∵PH∥CD，
∴∠BPH=∠C，而∠C=∠ABP，
∴∠EBP=∠HPB，
又PE⊥AB，PH⊥BG，
∴∠BEP=∠HBP，且BP=BP，
∴△BPE≌△PHB，
∴PE=BH，
∴BG=PE+PF．

點評：本題考查了等腰三角形的性質及全等三角形的判定，證明兩條線段的和等于一條線段時通常采用本題的證明方式．