Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，，點C為x軸正半軸上一動點，過點A作交y軸于點E．

如圖，若點C的坐標為，試求點E的坐標；

如圖，若點C在x軸正半軸上運動，且， 其它條件不變，連接DO，求證：OD平分

若點C在x軸正半軸上運動，當時，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）點E的坐標為（0，2）；（2）詳見解析；（3）∠OCB=60°．

【解析】

（1）先根據AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根據點C的坐標為（2，0），得到OC=2=OE，進而得到點E的坐標；

（2）先過點O作OM⊥AD于點M，作ON⊥BC于點N，根據△AOE≌△BOC，得到S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根據OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，進而得到OD平分∠ADC；

（3）在DA上截取DP=DC，連接OP，根據SAS判定△OPD≌△OCD，再根據三角形外角性質以及三角形內角和定理，求得∠PAO=30°，進而得到∠OCB=60°．

（1）如圖①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，

∴∠AOE=∠BDE，

又∵∠AEO=∠BED，

∴∠OAE=∠OBC，

∵A（-3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOE≌△BOC，

∴OE=OC，

又∵點C的坐標為（2，0），

∴OC=2=OE，

∴點E的坐標為（0，2）；

（2）如圖②，過點O作OM⊥AD于點M，作ON⊥BC于點N，

∵△AOE≌△BOC，

∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，

∵OM⊥AE，ON⊥BC，

∴OM=ON，

∴OD平分∠ADC；

（3）如所示，在DA上截取DP=DC，連接OP，

∵∠PDO=∠CDO，OD=OD，

∴△OPD≌△OCD，

∴OC=OP，∠OPD=∠OCD，

∵AD-CD=OC，

∴AD-DP=OP，即AP=OP，

∴∠PAO=∠POA，

∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB，

又∵∠PAO+∠OCD=90°，

∴3∠PAO=90°，

∴∠PAO=30°，

∴∠OCB=60°．