Question

【題目】把任意一個各個數位上的數字均不為0的多位自然數稱為“完美數”，若將一個三位“完美數“的各數位上的數字兩兩組合，形成六個新的兩位數，我們將這六個兩位相加的和，叫做該三位“完美數”的“完美雙和”，然后用所得的“完美雙和”除以18，得到的結果記為，例如“271”是一個三位“完美數”，六個新數為27，21，72，71，12，則：

（1）填空：______；

（2）證明：任意一個三位“完美數”的“完美雙和”與該三位“完美數”各數位上數字之差能被21除；

（3）已知一個三位“完美數”其中，且x，均為整數，滿足百位數字與個位數字之和等于十位數字的2倍加1，求出．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

根據的定義求解即可；

設三位“完美數”百位數為a，十位數為b，個位數為c，計算出“完美雙和”與該三位“完美數”各數位上數字之差，即可得證；

根據“完美數”其中，且x，均為整數是三位數，確定x的值，再根據這個三位數百位數字與個位數字之和等于十位數字的2倍加1，確定y的值，進而得出三個三位數，最后根據的定義求解即可．

六個新數為51，15，53，35，13，31，則：；

三位“完美數”百位數為a，十位數為b，個位數為c，

則“完美雙和”與該三位“完美數”各數位上數字之差為：，

，b，c為正整數，

一個三位“完美數”的“完美雙和”與該三位“完美數”各數位上數字之差能被21除；

“完美數”其中，且x，均為整數是三位數，

或或，

當時，，

這個三位數百位數字與個位數字之和等于十位數字的2倍加1，

，解得舍去，

當時，，

這個三位數百位數字與個位數字之和等于十位數字的2倍加1，

，解得，

此時，

同的方法，可求得，

當時，，

這個三位數百位數字與個位數字之和等于十位數字的2倍加1，

，解得，

此時，

同的方法，可求得．