Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+6過點A(6，0)，B(4，6)，與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖1，直線l的解析式為y=x，拋物線的對稱軸與線段BC交于點P，過點P作直線l的垂線，垂足為點H，連接OP，求△OPH的面積；

（3）把圖1中的直線y=x向下平移4個單位長度得到直線y=x-4，如圖2，直線y=x-4與x軸交于點G．點P是四邊形ABCO邊上的一點，過點P分別作x軸、直線l的垂線，垂足分別為點E，F．是否存在點P，使得以P，E，F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）S△OPH=8；（3）存在滿足條件的點P，點P坐標為：（0，4）,（，）,（4，6）,（，6）．

【解析】

（1）把，代入解析式，求解即可；

（2）延長交軸于點，則、均為等腰直角三角形，運用計算即可；

（3）由于點可能在、、、、上，而等腰三角形本身又有三種情況，故分別討論與計算即可.

（1）∵拋物線y=ax2+bx+6過點A(6，0)，B(4，6)，

∴

（2）∵該拋物線的對稱軸為直線 ∴CP=2．

如圖1，延長HP交y軸于點M，則△OMH、△CMP均為等腰直角三角形．

∴CM=CP=2，

∴OM=OC+CM=6+2=8． OH=MH=

S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=

（3）存在滿足條件的點P，點P坐標為：

（0，4）,（，）,（4，6）,（，6）．