Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點C，作CD⊥AD，垂足為D，直線CD與AB的延長線交于點E．

（1）求證：直線CD為⊙O的切線；
（2）當AB=2BE，且CE= 時，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OC，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠CAB，

∴∠OCA=∠DAC，

∴AD∥CO，

∵CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O直徑且C在半徑外端，

∴CD為⊙O的切線；

（2）解：∵AB=2BO，AB=2BE，

∴BO=BE=CO，

設BO=BE=CO=x，

∴OE=2x，

在Rt△OCE中，

根據勾股定理得：OC2+CE2=OE2，即x2+（ ）2=（2x）2

∴x=1，

∴AE=3，∠E=30°，

∴AD= ．

【解析】（1）如圖，連接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性質得到∠OCA=∠CAB，接著利用平行線的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切線的判定定理即可證明CD為⊙O的切線；（2）由AB=2BO，AB=2BE得到BO=BE=CO，設BO=BE=CO=x，所以OE=2x，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出關于x的方程，解方程求出x，最后利用三角函數的定義即可求解．
【考點精析】利用勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．