Question

【題目】如圖，點M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于點F，ME交BC于點G.

(1)寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；

(2)連接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FC和FG的長．

Answer 1

【答案】(1) △AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM.;(2)FC=1,FG=.

【解析】

（1）根據已知條件，∠DME=∠A=∠B=α，結合圖形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；

（2）根據相似三角形的性質，推出BG的長度，依據銳角三角函數推出AC的長度，即可求出CG、CF的長度，繼而推出FG的長度．

（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM．

∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D，又∠B=∠A=∠DME=α，∴∠AMF=∠BGM，∴△AMF∽△BGM．

（2）連接FG．由（1）知，△AMF∽△BGM，∴，即，∴BG=，∠α=45°，∴△ABC為等腰直角三角形．

∵M是線段AB中點，AB=4，∴AM=BM=2，AC=BC=4，CF=AC﹣AF=1，CG=4﹣，∴由勾股定理得：FG===．