Question

【題目】如圖，點D為的AB邊上的中點，點前E為AD的中點，為正三角形，給出下列結論，①,②，③，④若，點是上一動點，點到、邊的距離分別為，，則的最小值是3.其中正確的結論是_________（填寫正確結論的番號）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由題意可得△BCE是含有30°的直角三角形，根據含有30°的直角三角形的性質可判斷①②③，易證四邊形PMCN是矩形，可得d12＋d22＝MN2＝CP 2，根據垂線段最短，可得CP的值即可求d12＋d22的最小值，即可判斷④．

∵D是AB中點，

∴AD＝BD

∵△ACD是等邊三角形，E是AD中點，

∴AD＝CD，∠ADC＝60°＝∠ACD，CE⊥AB，∠DCE＝30°，

∴CD＝BD，

∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB，

∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝，

故①③正確，②錯誤；

∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°.

∴∠ACB＝90°.

若AC＝2，點P是AB上一動點，點P到AC、BC邊的距離分別為d1，d2，

∴四邊形PMCN是矩形，

∴MN＝CP，

∵d12＋d22＝MN2＝CP2，

∴當CP為最小值，d12＋d22的值最小，

∴根據垂線段最短，則當CP⊥AB時，d12＋d22的值最小，

此時：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB，

∴CP＝，

∴d12＋d22＝MN2＝CP2＝3，

即d12＋d22的最小值為3，

故④正確；

故答案為：①③④