Question

20、小明是一位刻苦學習、勤于思考、勇于創新的同學，一天他在解方程x²=-1時，突發奇想：x²=-1在實數范圍內無解，如果存在一個數i，使i²=-1，那么x²=i²，則x=±i，從而x=±i是方程x²=-1的兩個根．
（1）據此可知：i³=i²•i=-i，i⁴=

1

，i⁴²=

-1

；
（2）解方程：x²-2x+2=0（根用i表示）．

Answer 1

分析：（1）根據題中規律可知i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1；i⁵=i，i⁶=-1可以看出4個一次循環，據此即可求解；
（2）首先把方程移項變形為，（x-1）²=-1的形式，然后在方程的左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數，然后利用平方根的定義即可求解．

解答：解：（1）1，-1
（2）x²-2x+1=-1，（x-1）²=-1
x-1=±i
x=1±i，∴x₁=1+i，x₂=1-i．

點評：本題考查了利用配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：
（1）把常數項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．