Question

8、小明是一位刻苦學習、勤于思考、勇于創造的同學．一天，他在解方程時，突然產生了這樣的想法，x²+1=0這個方程雖然在實數范圍內無解，但是，假如存在這樣一個數i，使i²=-1，那么方程x²+1=0可以變為x²=i²，則x=±i是方程x²+1=0兩個根．小明還發現i具有如下性質：
i¹=i；i²=-1；i³=i²×I=（-1）×i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1；i⁵=i⁴×i=i；i⁶=（i²）³=（-1）³=-1；i⁷=i⁶×i=-i；i⁸=（i⁴）²=1…，請你觀察上述各式，根據你發現的規律填空：i⁴ⁿ⁺¹=

i

，i⁴ⁿ⁺²=

-1

，i⁴ⁿ⁺³=

-i

（n為自然數）．

Answer 1

分析：本題是一道規律題，根據題目中所給的條件尋找規律，發現每4個一循環，這樣就能得到i⁴ⁿ⁺¹，i⁴ⁿ⁺²，i⁴ⁿ⁺³的值．

解答：解：因為i具有下列性質：
i¹=i，i²=-1，i³=i²×i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1；
i⁵=i⁴•i=1×i=i，i⁶=i⁴•i²=1×（-1）=-1，i⁷=i⁴•i³=1×（-i）=-i，i⁸=i⁴•i⁴=1×1=1，…
根據以上性質，發現每4個一循環，
所以i⁴ⁿ⁺¹=（i⁴）ⁿ•i=1ⁿ•i=1×i=i，
i⁴ⁿ⁺²=（i⁴）ⁿ•i²=1ⁿ•（-1）=-1，
i⁴ⁿ⁺³=（i⁴）ⁿ•i³=1ⁿ•（-i）=-i．
故本題的答案分別是i，-1，-i．

點評：本題考查一元二次方程的解，根據題目所告訴的條件尋找規律，同時準確運用冪的乘方的法則．