Question

如圖，⊙O的半徑為5cm， AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

(1)求證：PC是⊙O的切線；（4分）
(2)求線段BC的長度.（4分）

Answer 1

（1）證明略
（2）5cm

(1)證明：在⊙O中，∠COB=2∠CAB，OA=OC
∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠COB=2∠ACO   ————1分
又∵∠COB=2∠PCB，∴∠PCB=∠ACO
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
即∠ACO+∠OCB＝90°
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即∠OCP＝90°       ————2分
∴OC⊥CP
∴PC是⊙O的切線                         ————1分
(2)解：∵⊙O的半徑為5cm， AB是⊙O的直徑，∴AB＝10cm， ——1分
∵AC=PC，∴∠A＝∠P，
∵∠COB＝2∠A，∴∠COB＝2∠P
又∵∠OCP＝90°，∴∠COB+∠P＝90°，
∴∠P＝30°，
∴∠A＝30°，                          —————2分
又∵∠ACB=90°，
∴CB＝AB＝5cm.              —————1分