Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線BD平分∠ABC，且BD⊥DC，上底AD=3cm．
（1）求∠ABC的度數； 
（2）求梯形ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）根據等腰梯形性質求出∠C=∠ABC，推出∠C=∠ABC=2∠DBC，求出3∠DBC=90°，求出即可；
（2）推出∠ABD=∠ADB，求出AB=AD=DC，根據含30度角的直角三角形性質求出BC，即可求出答案．

解答：解：（1）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠C=∠ABC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C=∠ABC=2∠DBC，
∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°，
∴3∠DBC=90°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABC=∠C=2∠DBC=60°；

（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=DC，
∵AD=3cm，
∴AB=DC=3cm，
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DBC=30°，DC=3cm，
∴BC=2DC=6cm，
∴梯形ABCD的周長是AD+AB+BC+CD=3cm+3cm+6cm+3cm=15cm．

點評：本題考查了等腰梯形的性質，平行線的性質，角平分線定義，含30度角的直角三角形性質等知識點的綜合運用．