Question

【題目】⑴如圖1，點M、N分別在∠AOB的邊OA、OB上，且OM＝ON，過點M、N分別作MP⊥OA、NP⊥OB，MP、NP交于P，E、F分別為線段MP、NP上的點，且∠EOF＝∠AOB，延長PM到S，使MS＝NF，連接OS，則∠EOF與∠EOS的數量關系為 ，線段NF、EM、EF的數量關系為

⑵如圖2，點M、N分別在∠AOB的邊OA、OB上，且OM＝ON，， E、F分別為線段MP、NP上的點，且∠EOF＝∠AOB，⑴中的線段NF、EM、EF的數量關系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明。

⑶如圖3，點M、N分別在∠AOB的邊OA、OB上，且OM＝ON，， E、F分別為線段PM、NP延長線上的點，且∠EOF＝∠AOB，⑴中的線段NF、EM、EF的數量關系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明。

Answer 1

【答案】（1）相等，EF=FN+EM；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）結論：相等，EF=FN+EM．先證明△OMS≌△ONF，再證明△OES≌△OEF即可解決問題．

（2）結論：EF=FN+EM．如圖2中，延長EM到S，使得SM=FN，連接SO，先證明△OMS≌△ONF，再證明△OES≌△OEF即可解決問題．

（3）結論：EF=FN-EM．如圖3中，延長ME到S，使得MS=FN，連接SO，先證明△OMS≌△ONF，再證明△OES≌△OEF即可解決問題．

理由：如圖1中，

在△OMS和△ONF中，OM=ON，∠OMS=∠ONF，MS=FN，

∴△OMS≌△ONF，

∴OS=OF，∠SOM=∠FON，

∵∠EOF=∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，

在△OES和△OEF中，OE=OE，∠SOE=∠EOF，OS=OF，

∴△OES≌△OEF，

∴EF=SE=SM+EM=FN+EM．

故答案為相等，EF=FN+EM．

（2）如圖2中，延長EM到S，使得SM=FN，連接SO．

∵∠OMP+∠ONP=180°，∠OMS+∠OMP=180°，

∴∠OMS=∠ONF，

在△OMS和△ONF中，OM=ON，∠OMS=∠ONF，MS=FN，

∴△OMS≌△ONF，

∴OS=OF，∠SOM=∠FON，

∵∠EOF=∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，

在△OES和△OEF中，OE=OE，∠SOE=∠EOF，OS=OF，

∴△OES≌△OEF，

∴EF=SE=SM+EM=FN+EM．

（3）結論：EF=FN-EM．

理由：如圖3中，延長ME到S，使得MS=FN，連接SO．

∵∠OMP+∠ONP=180°，∠OMS+∠OMP=180°，

∴∠OMS=∠ONF，

在△OMS和△ONF中，OM=ON,∠OMS=∠ONF,MS=FN∴△OMS≌△ONF，

∴OS=OF，∠SOM=∠FON，

∵∠EOF=∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，

在△OES和△OEF中，OE=OE,∠SOE=∠EOF,OS=OF，

∴△OES≌△OEF，

∴EF=SE=SM-EM=FN-EM．