Question

如圖，已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，CE平分∠DCO交⊙O于點E．
（1）求證：點E平分弧ADB；
（2）若⊙O的半徑為2，CD=2

3

．
①求點O到弦AC的距離；
②在圓周上，共有幾個點到直線AC的距離為1的點，在圖中畫出這些點，并指出△AOC的外接圓的圓心的位置；
③若圓上有一動點P從點A出發，順時針方向在圓上運動一周，當S_△POA=S_△AOC時，求點P所走過的弧長．

Answer 1

分析：（1）連接OE，首先證明OE∥CD，進而得出∠AOE=∠EOB=90°，即可得出點E平分弧ADB；
（2）①過O點作OF⊥AC于F，則AF=CF，進而得出CH=DH=

1

2

CD=

3

，進而得出∠OAC的度數，即可得出答案；
②利用已知得出共有三個點，其一是延長OF交⊙O于M點，另外過O點作AC的平行線交⊙O于點N、K，共有三個點；
③當S_△POA=S_△AOC時，點P有四個點滿足S_△POA=S_△AOC分別是∠AOP=60°、120°、240°、300°進而求出即可．

解答：（1）證明：如圖1，連接OE，
∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，
又∵CE平分∠OCD，∴∠OCE=∠ECD，
∴∠OEC=∠ECD，∴OE∥CD，
∵CD⊥AB，∴OE⊥AB，
即∠AOE=∠EOB=90°，
∴弧AE=弧EB，
即點E平分弧ADB；

（2）解：①如圖1，過O點作OF⊥AC于F，則AF=CF．
∵CD⊥AB于H，∴CH=DH=

1

2

CD=

3

．
在Rt△OCH中，∵OH=

4-3

=1，∴∠COH=60°，
∴∠OAC=30°，∴OF=

1

2

OA=1；

②共有三個點，其一是延長OF交⊙O于M點，
另外過O點作AC的平行線交⊙O于點N、K，故共有三個點．
△AOC的外心就是點M；

③∵∠AOC=120°，
∴點P有四個點滿足S_△POA=S_△AOC，
分別是∠AOP=60°、120°、240°、300°，
∴弧AP的長分別為：

60π×2

180

=

2π

3

，

120π×2

180

=

4π

3

，

240π×2

180

=

8π

3

，

300π×2

180

=

10

3

π．

點評：此題主要考查了垂徑定理以及弧長公式的應用和銳角三角函數關系以及三角形外心的性質等知識，結合圖形得出符合題意的點的位置是解題關鍵．