Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象的頂點為點D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為－1，3，與y軸負半軸交于點C.在下面五個結論中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④只有當a＝時，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a的值有4個．其中正確的結論是________(只填序號)．

Answer 1

【答案】③④

【解析】試題分析：先根據圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3確定出AB的長及對稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．①∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，∴AB=4，∴對稱軸x=﹣=1，即2a+b=0．故①錯誤；②根據圖示知，當x=1時，y＜0，即a+b+c＜0．故②錯誤；③∵A點坐標為（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，∴a+2a+c=0，即c=﹣3a．故③正確；④∵△ADB為等腰直角三角形．所以AD=BD=AB，設D（1，a+b+c），又b=﹣2a，c=﹣3a，故D（1，﹣4a）；列方程求解得a=1/2或a=﹣1/2（舍去），∴只有a=1/2時三角形ABD為等腰直角三角形，故④正確；⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，當AB=BC=4時，∵AO=1，△BOC為直角三角形，又∵OC的長即為|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，∴c=﹣，與2a+b=0、a﹣b+c=0聯立組成解方程組，解得a=；同理當AB=AC=4時，∵AO=1，△AOC為直角三角形，又∵OC的長即為|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，∴c=﹣與2a+b=0、a﹣b+c=0聯立組成解方程組，解得a=；同理當AC=BC時在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程無解．經解方程組可知只有兩個a值滿足條件．故⑤錯誤．綜上所述，正確的結論是③④．故答案是：③④．