Question

【題目】愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關系查閱資料時，發現了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設BC=a，AC=b，AB=c．

【特例探究】

（1）如圖1，當tan∠PAB=1，c=4時，a=　　，b=　　；

如圖2，當∠PAB=30°，c=2時，a=　　，b=　　；

【歸納證明】

（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想a2、b2、c2三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結論．

【拓展證明】

（3）如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點G，AD=3，AB=3，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）4，4；，．（2）a2+b2=5c2，理由見解析.(3)4.

【解析】試題分析：（1）①首先證明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問題．②連接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性質求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問題．（2）結論a2+b2=5c2．設MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題．（3）取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，首先證明△ABF是中垂三角形，利用（2）中結論列出方程即可解決問題．

試題解析：（1）解：如圖1中，∵CE=AE，CF=BF，

∴EF∥AB，EF=AB=2，

∵tan∠PAB=1，

∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，

∴PF=PE=2，PB=PA=4，

∴AE=BF==2．

∴b=AC=2AE=4，a=BC=4．

如圖2中，連接EF，

，∵CE=AE，CF=BF，

∴EF∥AB，EF=AB=1，

∵∠PAB=30°，

∴PB=1，PA=，

在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，

∴PE=，PF=，

∴AE==，BF==，

∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，

（2）結論

證明：如圖3中，連接EF．

∵AF、BE是中線，

∴EF∥AB，EF=AB，

∴△FPE∽△APB，

∴==，

設FP=x，EP=y，則AP=2x，BP=2y，

∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，

b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，

c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，

∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．

（3）解：如圖4中，在△AGE和△FGB中，

，

∴△AGE≌△FGB，

∴BG=FG，取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，

同理可證△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=CF=2BF，

即PE∥CF，PE=CF，

∴四邊形CEPF是平行四邊形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由（2）可知AB2+AF2=5BF2，

∵AB=3，BF=AD=，

∴9+AF2=5×（）2，

∴AF=4．