Question

如圖，在矩形ABCD中，點E為CD上一點，將△BCE沿BE翻折后點C恰好落在AD邊上的點F處，過F作FH⊥BC于H，交BE于G，連接CG．
（1）求證：四邊形CEFG是菱形；
（2）若AB=8，BC=10，求四邊形CEFG的面積．

Answer 1

分析：（1）根據翻折的性質可得∠1=∠2，EC=EF，再根據同角的余角相等求出∠1=∠3，從而得到∠2=∠3，根據同位角相等，兩直線平行可得EF∥CG，再根據垂直于同一直線的兩直線平行求出FG∥CD，從而求出四邊形CEFG是平行四邊形，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；
（2）根據翻折的性質可得BF=BC=10，然后利用勾股定理列式求出AF，從而得到DF的長，設CE=EF=x，表示出DE，在Rt△DEF中，利用勾股定理列出方程求出x的值，再根據菱形的面積公式列式計算即可得解．

解答：（1）證明：根據翻折，∠1=∠2，EC=EF，
∵FH⊥BC，
∴∠3+∠4=90°，
又∵∠1+∠4=∠BCD=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴EF∥CG，
又∵FH⊥BC，∠BCD=90°，
∴FG∥CD，
∴四邊形CEFG是平行四邊形，
∵EC=EF（已證），
∴四邊形CEFG是菱形；

（2）解：根據翻折，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，AF=

BF2-AB2

=

102-82

=6，
∴DF=AD-AF=10-6=4，
設CE=EF=x，則DE=CD-CE=8-x，
在Rt△DEF中，DF²+DE²=EF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
所以，四邊形CEFG的面積=CE•DF=5×4=20．

點評：本題考查了矩形的性質，菱形的判定與性質，翻折變換的性質，（1）求出四邊形CEFG是鄰邊相等的平行四邊形是證明菱形的關鍵，（2）根據勾股定理求出菱形的邊長是解題的關鍵．