Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點D與點A關于y軸對稱，，點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、D重合），且∠CEF=∠ACB.
（1）求AC的長和點D的坐標；
（2）說明△AEF與△DCE相似；
（3）當△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標.

Answer 1

（1）AC=20.        D（12,0）
（2）見解析
（3）E的坐標為或.

試題分析：（1）利用矩形的性質，在Rt△ABC中，利用三角函數求出AC、BC的長度，從而得到A點坐標；由點D與點A關于y軸對稱，進而得到D點的坐標；
（2）欲證△AEF與△DCE相似，只需要證明兩個對應角相等即可．如圖①，在△AEF與△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，從而問題解決；
（3）當△EFC為等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論：
①當CE=EF時，此時△AEF與△DCE相似比為1，則有AE=CD；
②當EF=FC時，此時△AEF與△DCE相似比為，則有AE=CD；
③當CE=CF時，F點與A點重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在．
點評：本題的難點在于第（3）問，當△EFC為等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論，注意不要漏解．