Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分線AF與BD，BC分別交于點E，F，點O是BD的中點，直線OK∥AF，交AD于點K，交BC于點G．

（1）求證：△DOK≌△BOG；
（2）探究線段AB、AK、BG三者之間的關系，并證明你的結論；
（3）若KD=KG，BC=2 ﹣1，求KD的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=BGO．

∵點O是BD的中點；

∴DO=BO．

在△DOK和△BOG中，

∴△DOK≌△BOG（AAS）．

（2）解：AB+AK=BG；證明如下：

∵四邊形ABCD是矩形；

∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC．

又∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠BFA=45°．

∴AB=BF．

∵OK∥AF，AK∥FG，

∴四邊形AFGK是平行四邊形．

∴AK=FG．

∵BG=BF+FG；

∴BG=AB+AK．

（3）解：∵四邊形AFGK是平行四邊形．

∴AK=FG，AF=KG

又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG，

∴AF=KG=KD=BG．

設AB=a，則AF=KG=KD=BG= a．

∴AK=2 ﹣1﹣ a，FG=BG﹣BF= a﹣a．

∴2 ﹣1﹣ a= a﹣a．

解得a=1．

∴KD= a= ．

【解析】（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，得到∠KDO=∠GBO，∠DKO=BGO，DO=BO，得到△DOK≌△BOG（AAS）；（2）四邊形ABCD是矩形，得到∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC，又AF平分∠BAD，得到∠BAF=∠BFA=45°，AB=BF，由OK∥AF，AK∥FG，得到四邊形AFGK是平行四邊形，得到AK=FG，BG=BF+FG，即BG=AB+AK；（3）四邊形AFGK是平行四邊形，得到AK=FG，AF=KG，又△DOK≌△BOG，且KD=KG，得到AF=KG=KD=BG，設AB=a，則AF=KG=KD=BG= a，得到AK=2﹣1- a，FG=BG﹣BF= a﹣a，解得a=1，得到KD= a= ．