Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．

（1）求點A，B，C的坐標；

（2）點P從A點出發，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向B點運動，同時，點Q從B點出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動．設運動時間為t秒，求運動時間t為多少秒時，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；

（3）在（2）的條件下，當△PBQ面積最大時，在BC下方的拋物線上是否存在點M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，﹣4）；（2）當t=時，△PBQ的面積取最大值，最大值為；（3）點M的坐標為（1，﹣4）或（2，﹣）．

【解析】（1）代入x=0可求出點C的縱坐標，代入y=0可求出點A、B的橫坐標，此題得解；

（2）根據點B、C的坐標，利用待定系數法可求出直線BC的解析式，過點Q作QE∥y軸，交x軸于點E，當運動時間為t秒時，點P的坐標為（2t-2，0），點Q的坐標為（3-t，-t），進而可得出PB、QE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△PBQ關于t的函數關系式，利用二次函數的性質即可解決最值問題；

（3）根據（2）的結論找出點P、Q的坐標，假設存在，設點M的坐標為（m，m2-m-4），則點F的坐標為（m，m-4），進而可得出MF的長度，利用三角形的面積結合△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出結論．

（1）當x=0時，y=x2﹣x﹣4=﹣4，

∴點C的坐標為（0，﹣4）；

當y=0時，有x2﹣x﹣4=0，

解得：x1=﹣2，x2=3，

∴點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（3，0）．

（2）設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

將B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，

，解得：，

∴直線BC的解析式為y=x﹣4．

過點Q作QE∥y軸，交x軸于點E，如圖1所示，

當運動時間為t秒時，點P的坐標為（2t﹣2，0），點Q的坐標為（3﹣t，﹣t），

∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，

∴S△PBQ=PBQE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+．

∵﹣＜0，

∴當t=時，△PBQ的面積取最大值，最大值為．

（3）當△PBQ面積最大時，t=，

此時點P的坐標為（，0），點Q的坐標為（，﹣1）．

假設存在，設點M的坐標為（m，m2﹣m﹣4），則點F的坐標為（m，m﹣4），

∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，

∴S△BMC=MFOB=﹣m2+3m．

∵△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，

∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，

解得：m1=1，m2=2．

∵0＜m＜3，

∴在BC下方的拋物線上存在點M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，點M的坐標為（1，﹣4）或（2，﹣）．