Question

【題目】如圖，∠ACB=90°，AC=BC，CD平分∠ACB，點D，E關于CB對稱，連接EB并延長，與AD的延長線交于點F，連接DE，CE．對于以下結論：

①DE垂直平分CB；②AD=BE；③∠F不一定是直角；④EF2＋DF2=2CD2．

其中正確的是(　　)

A.①④B.②③C.①③D.②④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據點D，E關于CB對稱，可得CB垂直平分DE，即可判斷①錯誤；根據CB垂直平分DE，連接BD，可得BD=BE，證明△ACD≌△BCD，可得AD=BD，即可判斷②；結合①②證明△ACD≌△BCD≌△BCE，可得∠CAD=∠CEB=(180°-45°)=67.5°，∠FED=67.5°-45°=22.5°，進而證明角F的度數，即可判斷③；在Rt△FDE中，根據勾股定理，得EF2+DF2=DE2，根據∠DCE=90°，CD=CE，即可判斷④．

①∵點D、E關于CB對稱，
∴CB垂直平分DE，
所以①錯誤；
②連接BD，如圖，

∵CB垂直平分DE，
∴BD=BE，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
在△ACD和△BCD中，

，
∴△ACD≌△BCD(SAS)，
∴AD=BD，
∴AD=BE，
所以②正確；
③∵CB垂直平分DE，
∴BD=BE，CD=CE，
在△BCD和△BCE中，

，
∴△BCD≌△BCE(SSS)，
∴△ACD≌△BCD≌△BCE，
∴∠ACD=∠DCB=∠ECB=45°，
∴CA=CD=CB=CE，
∴∠CAD=∠CEB=(180°-45°)=67.5°，

∵∠CED=∠CDE=(180°-∠DCB-∠ECB) =45°，
∴∠FED=67.5°-45°=22.5°，
∵∠CDE=∠ACD=45°，

∴DE∥AC，
∴∠FDE=∠A=67.5°，
∴∠F=180°-∠FDE-∠FED=90°，
所以③錯誤；
④在Rt△FDE中，根據勾股定理，得：
EF2+DF2=DE2，
∵∠DCE=∠DCB+∠ECB=90°，CD=CE，
∴DE2=CD2+CE2=2CD2，
∴EF2+DF2=2CD2，
所以④正確．
綜上所述：正確的是②④．
故選：D．