Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx－2的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)，且當(dāng)x＝－2和x＝5時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等．

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；

(2)如圖①，動(dòng)點(diǎn)E，F同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB邊向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AC方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接EF，將△AEF沿EF翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，得到△DEF.

①是否存在某一時(shí)刻t，使得△DCF為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

②設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）①t＝或t＝ ，②.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)A以及“當(dāng)x=﹣2和x=5時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等”兩個(gè)條件，列出方程組求出待定系數(shù)的值．

（2）①首先由拋物線解析式能得到點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，則線段OA、OB、OC的長(zhǎng)可求，進(jìn)一步能得出AB、BC、AC的長(zhǎng)；首先用t 表示出線段AD、AE、AF（即DF）的長(zhǎng)，則根據(jù)AE、EF、OA、OC的長(zhǎng)以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一個(gè)直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三種情況討論：

i）點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，由于△ABC恰好是直角三角形，且以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，所以此時(shí)點(diǎn)B、D重合，由此得到AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出t的值；

ii）點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，此時(shí)∠CDB與∠CBD恰好是等角的余角，由此可證得OB=OD，再得到AD的長(zhǎng)后可求出t的值；

iii）點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，∠DFC是銳角，而點(diǎn)F在射線AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠DFC又是鈍角，所以這種情況不符合題意．

②此題需要分三種情況討論：

i）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A與線段AB中點(diǎn)之間時(shí)，兩個(gè)三角形的重疊部分是整個(gè)△DEF；

ii）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB中點(diǎn)與點(diǎn)O之間時(shí)，重疊部分是個(gè)不規(guī)則四邊形，那么其面積可由大直角三角形與小鈍角三角形的面積差求得；

iii）當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時(shí)，重疊部分是個(gè)小直角三角形．

試題解析：解：（1）由題意得： ，解得：a=，b=．

（2）①由（1）知二次函數(shù)為.∵A（4，0），∴B（﹣1，0），C（0，﹣2），∴OA=4，OB=1，OC=2，∴AB=5，AC=，BC=，∴AC2+BC2=25=AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°．

∵AE=2t，AF=t，∴.

又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，∴△AEF沿EF翻折后，點(diǎn)A落在x軸上點(diǎn)D處；

由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=AE=t．

假設(shè)△DCF為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)：

ⅰ）若C為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，如圖2，∴AE=AB=t=÷2=；

ⅱ）若D為直角頂點(diǎn)，如圖3．∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．

∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．

∵OC⊥BD，∴OD=OB=1，∴AD=3，∴AE=，∴t=；

當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，∠DFC＞90°，△DCF為鈍角三角形．

綜上所述，存在時(shí)刻t，使得△DCF為直角三角形，t=或t=．

②ⅰ）當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分為△DEF，如圖1、圖2，∴S=×2t×t=t2；

ⅱ）當(dāng)＜t≤2時(shí)，設(shè)DF與BC相交于點(diǎn)G，則重疊部分為四邊形BEFG，如圖4，過點(diǎn)G作GH⊥BE于H，設(shè)GH=m，則BH= ，DH=2m，∴DB=．

∵DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴ =4t﹣5，∴m=（4t﹣5），

∴S=S△DEF﹣S△DBG=×2t×t﹣（4t﹣5）×（4t﹣5）=；

ⅲ）當(dāng)2＜t≤時(shí)，重疊部分為△BEG，如圖5．

∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），∴S=×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．

綜上所述： ．