Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，點M從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向在AB上運動，以點M為圓心，MA長為半徑畫圓，如圖2，過點M作NM⊥AB，交⊙M于點N，設運動時間為t秒．

（1）填空：BD=　 　，BM=　 　；（請用準確數值或含t的代數式表示）

（2）當⊙M與BD相切時，

①求t的值；

②求△CDN的面積．

（3）當△CND為直角三角形時，求出t的值．

Answer 1

【答案】（1）15，9﹣t；（2）①t=2②36；（3）t=4.5秒

【解析】分析：(1)、根據Rt△ABD的勾股定理求出BD的長度，根據AM=t得出BM的長度；(2)①、判斷出△BME和△BDA相似，得出比例式建立方程即可得出答案；②、先求出MN、CD邊上的高，利用三角形的面積公式得出答案；(3)、過點N作直線FG⊥MN，分別交AD，BC于點F，G，分別求出和與t的關系式，然后分∠DNC=90°和∠DCN=90°兩種情況求出t的值．

詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD=BC=12，∠BAD=90°，

在Rt△ABD中，AB=9，BC=12，根據勾股定理得，BD==15，

由運動知，AM=t． ∴BM=AB﹣AM=9﹣t；

（2）①如圖1，⊙M且BD于E， ∴ME⊥BD， ∴∠BEM=∠BAD=90°， ∵∠EBM=∠ABD，

∴△BME∽△BDA， ∴， ∴， ∴t=2，

②∵MN=AM=2t=4， ∴CD邊上的高為AD﹣MN=12﹣4=8， ∴S△CDN=×9×8=36；

（3）如圖2，過點N作直線FG⊥MN，分別交AD，BC于點F，G，

∴FN=2t，GN=9﹣2t，DF=CG=12﹣2t， ∴DN2=DF2+FN2=（12﹣2t）2+（2t）2，

∴CN2=CG2+GN2=（12﹣2t）2+（9﹣2t）2，

①當∠DNC=90°時，DN2+CN2=CD2， ∴（12﹣2t）2+（2t）2+（12﹣2t）2+（9﹣2t）2=81，

化簡，得4t2﹣33t+72=0， ∵△=（﹣33）2﹣4×4×72＜0， ∴此方程無實數根；

②當∠DCN=90°時，點N在BC上，BN=BA=2t=9， ∴t=4.5，

綜上所述，t=4.5秒．