Question

如圖1，AD和AE分別是△ABC的BC邊上的高和中線，點D是垂足，點E是BC的中點，規定：λ_A=

DE

BE

．特別地，當點D、E重合時，規定：λ_A=0．另外，對λ_B、λ_C作類似的規定．

（1）如圖2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求λ_A、λ_C；
（2）在每個小正方形邊長均為1的4×4的方格紙上，畫一個△ABC，使其頂點在格點（格點即每個小正方形的頂點）上，且λ_A=2，面積也為2；
（3）判斷下列三個命題的真假（真命題打“√”，假命題打“×”）：
①若△ABC中λ_A＜1，則△ABC為銳角三角形；

 

②若△ABC中λ_A=1，則△ABC為直角三角形；

 

③若△ABC中λ_A＞1，則△ABC為鈍角三角形．

 

．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形斜邊中線、高的特點進行轉換即可得出答案，
（2）根據題目要求即可畫出圖象，
（3）根據真假命題的定義即可得出答案．

解答：解：（1）如圖，作BC邊上的中線AD，又AC⊥DC，
∴λ_A=

CD

BD

=1，
過點C分別作AB邊上的高CE和中線CF，
∵∠ACB=90°，
∴AF=CF，
∴∠ACF=∠CAF=30°，
∴∠CFE=60°，
∴λ_C=

EF

AF

=

EF

CF

=cos60°=

1

2

；

（2）如圖：

（3）①×，②√，③√．

點評：本題主要考查了直角三角形斜邊中線、高的性質以及特殊角的三角函數值，同時考查了畫圖，真假命題的判斷，比較復雜，難度較大．