Question

操作探究：
我們知道一個三角形中有三條高線和三條中線．如圖1，AD和AE分別是△ABC中BC邊上的高線和中線，我們規定：k_A=

DE

BE′

，另外，對k_B、k_C作類似的規定．
（1）如圖2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則k_A的值為

1

，k_C的值為

1

2

；
（2）在每個小正方形邊長均為1的4×4的方格紙上（如圖3），畫一個△ABC，使其頂點在格點（格點即每個小正方形的頂點）上，且k_A=2，面積也為2；
（3）判斷下面三個命題的真假（真命題打“√”，假命題的打“×”）
①若△ABC中，k_A＜1，則△ABC為銳角三角形

×

；
②若△ABC中，k_A=1，則△ABC為直角三角形

√

；
③若△ABC中，k_A＞1，則△ABC為鈍角三角形

√

．

Answer 1

分析：（1）根據kA的定義即可直接求解；CE⊥AB于E，CF是中線，可以證明△BCF是等邊三角形，根據三線合一定理，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求解；
（2）k_A=2，則一定是鈍角三角形，作出一邊長是2，這邊上的高也是2的三角形；
（3）根據（1）即可確定①是錯誤的；
②③根據k_A的值可以確定過頂點A的高線的垂足與三角形的頂點的位置，即可確定三角形的形狀．

解答：解：（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°時，BC邊上的高，垂足就是點C，設中線是AD，則k_A=

CD

BD

=1；
CE⊥AB于E，CF是中線，則CF=

1

2

AB=BF，
又∵∠B=90°-30°=60°，
∴△BCF是等邊三角形；
∴EF=BE=

1

2

BF=

1

2

AF，
∴k_C=

EF

AF

=

1

2

；

（2）作圖如下：
；

（3）①（1）中k_C=

1

2

，而△ABC是直角三角形，故命題錯誤；
②k_A=1時，過頂點A的高線的垂足與三角形的頂點一定重合，故三角新一定是直角三角形，故命題正確；
③k_A＞1時，過頂點A的高線的垂足與三角形的頂點一定在邊的延長線上，則三角形一定是鈍角三角形，故命題正確．
故答案是：×，√，√．

點評：本題考查了三角形的作圖，正確理解kA的意義，根據k_A的值可以確定過頂點A的高線的垂足與三角形的頂點的位置是關鍵．