Question

（2013•寶安區二模）已知：如圖1，拋物線經過點O、A、B三點，四邊形OABC是直角梯形，其中點A在x軸上，點C在y軸上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．
（1）求拋物線所對應的函數關系式；
（2）若D為OA的中點，動點P自A點出發沿A→B→C→O的路線移動，速度為每秒1個單位，移動時間記為t秒．幾秒鐘后線段PD將梯形OABC的面積分成1﹕3兩部分？并求出此時P點的坐標；
（3）如圖2，作△OBC的外接圓O′，點Q是拋物線上點A、B之間的動點，連接OQ交⊙O′于點M，交AB于點N．當∠BOQ=45°時，求線段MN的長．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線經過原點，設拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），然后把點A、B的坐標代入求出a、b的值，即可得解；
（2）先求出梯形OABC的面積為64和AB的長，再求出兩個部分的面積分別為16和48，然后分△ADP的面積是16時，過點P作PE⊥x軸于E，根據等腰直角三角形的性質求出PE的長，再根據三角形的面積列式計算即可得解；△PDO的面積是16時，求出OP的長，再列式求解即可；
（3）先利用勾股定理列式求出OB，再根據兩組角對應相等的兩個三角形相似可得△AOB和△ONB相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出ON的長，連接BM，判斷出△OBM是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出OM，再根據MN=ON-OM計算即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線經過點A（12，0）、B（4，8）和原點O，
∴設拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），
則

144a+12b=0 16a+4b=8

，
解得

a=- 1 4 b=3

，
∴拋物線所對應的函數關系式為y=-

1

4

x²+3x；

（2）∵A（12，0），B（4，8），BC∥OA，
∴OA=12，BC=4，OC=8，∠OAB=45°，
∴梯形OABC的面積=

1

2

×（4+12）×8=64，
∵AD是OA的中點，
∴OD=AD=

1

2

OA=

1

2

×12=6，
∵線段PD將梯形OABC的面積分成1：3兩部分，
∴分成兩部分的面積分別為64×

1

1+3

=16，
64×

3

1+3

=48，
如圖1，△ADP的面積是16時，過點P作PE⊥x軸于E，
∵AP=t，
∴PE=

2

2

t，
∴

1

2

×6×

2

2

t=16，
解得t=

16 2

3

，
∴PE=

16 2

3

×

2

2

=

16

3

，
OE=12-

16 2

3

×

2

2

=

20

3

，
∴點P（

20

3

，

16

3

），
△PDO的面積是16時，

1

2

×6•OP=16，
解得OP=

16

3

，
∵AB=

82+(12-4)2

=8

2

，
∴t=（AB+BC+OC-OP）÷1=8

2

+4+8-

16

3

=8

2

+

20

3

，
此時，點P（0，

16

3

），
綜上所述，

16 2

3

秒或8

2

+

20

3

秒鐘后線段PD將梯形OABC的面積分成1：3兩部分，
此時P點的坐標為（

20

3

，

16

3

）或（0，

16

3

）；

（3）在Rt△OBC中，由勾股定理得，OB=

OC2+BC2

=

82+42

=4

5

，
∵∠OAB=45°，∠BOQ=45°，
∴∠OAB=∠BOQ，
又∵∠ABO=∠OBN，
∴△AOB∽△ONB，
∴

ON

AO

=

OB

AB

，
即

ON

12

=

4 5

8 2

，
解得ON=3

10

，
如圖2，連接BM，∵∠BOQ=45°，OB是⊙O′的直徑，
∴△OBM是等腰直角三角形，
∴OM=

2

2

OB=

2

2

×4

5

=2

10

，
∴MN=ON-OM=3

10

-2

10

=

10

．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，三角形的面積，相似三角形的判定與性質，（2）難點在于要根據點P的位置分情況討論，（3）判斷出兩個三角形相似是解題的關鍵．