Question

【題目】如圖，已知矩形 OABC，以點 O 為坐標原點建立平面直角坐標系，其中 A（2，0）， C（0，3），點 P 以每秒 1 個單位的速度從點 C 出發在射線 CO 上運動，連接 BP，作 BE⊥PB 交 x 軸于點 E，連接 PE 交 AB 于點 F，設運動時間為 t 秒．

（1）當 t=2 時，求點 E 的坐標；

（2）在運動的過程中，是否存在以 P、O、E 為頂點的三角形與△PCB 相似．若存在，請求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（5，0）；（2）存在.

【解析】

(1)本題需先求出AB=AE,再求出DE=5,即可求出點E的坐標.

(2)本題需先求出CP=CB=2,即可求出t的值.(3)本題需先證出△BCP~△BAE,求出

AE= t,再證出△POE~△PCB,求出的t值,再求出OP的長,即可求出P的坐標.

解：（1）當 t=2 時，PC=2，∵BC=2，∴PC=BC，∴∠PBC=45°，∴∠BAE=90°，

∴∠AEB=45°，∴AB=AE=3，OE=5，∴點 E 的坐標是（5，0）；

（2）存在，

∵∠ABE+∠ABP=90°

∠PBC+∠ABP=90°

∴∠ABE=∠PBC

∵∠BAE=∠BCP=90°

∴△POE△BAE

∴=

∴=

∴AE=t

∵若△POE△PCB

∴

∴=

,(舍去)

∴P的坐標為（0，）.