Question

【題目】如圖，在ABC中，∠C＝90，BD是ABC的一條角一平分線，點O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形，

（1）求證：點O在∠BAC的平分線上；

（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的長

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

（1）考察角平分線定理的性質，及直角三角形全等的判斷方法，“HL”；（2）利用全等得到線段AM＝BE，AM＝AF，利用正方形OECF，得到四邊都相等，從而利用OE與BE、AF及AB的關系求出OE的長

解：（1）過點O作OM⊥AB于點M

∵正方形OECF

∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F

∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E

∴OM＝OE＝OF

∵OM⊥AB于M， OE⊥BC于E

∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°

∵

∴Rt△AMO≌Rt△AFO

∴∠MA0＝∠FAO

∴點O在∠BAC的平分線上

(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12

∴AB＝13

∴BE＝BM，AM＝AF

又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE

∴BE＝12－OE，AF＝5－OE

∴BM＋AM＝AB

即BE＋AF＝13

12－OE＋5－OE＝13

解得OE＝2