Question

【題目】在平面直角坐標系中，四邊形的矩形，點，點，點.以點為中心，順時針旋轉矩形，得到矩形，點旋轉后的對應點分別為，直線、直線分別與直線相交于點，.記旋轉角為.

（Ⅰ）如圖①，當矩形的頂點落在軸正半軸上時，

（1）求證：；

（2）求點的坐標.

（Ⅱ）如圖②，當矩形的頂點落在直線上時，

（1）求證：.

（2）求點的坐標.

（Ⅲ）在矩形旋轉過程中，當時，若，請直接寫出此時點 的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（1）見解析；（2）點 的坐標為 ； （Ⅱ）（1）見解析；（2）點的坐標為；（Ⅲ）點的坐標為或

【解析】

（Ⅰ）（1）由題意得∠B’CQ=∠C’即可求解；

（2）由題可得OA=8，OC=6. B’C’=BC=8,OC’=OC=6；由（1）知△B’CQ∽△B’C’O即可求解；

（Ⅱ）（1）由題意知A’B’=AB=OC，∠BCO=∠B’CO=∠A’=90，易得三角形全等；

（2）設CP=x，由（1）知△PCO≌△PA’B’，易得CP長即可求出P點坐標；

（3）分情況討論：1°當P在BQ上時，由勾股定理易得PC長度即可求解;

2°當P在QB延長線上時，由勾股定理易得PC長度，即可求解.

（Ⅰ）（1）證明：根據題意，知∠B’CQ=∠BCO=90°，∠BCO=∠C’=90°，

∴∠B’CQ=∠C’=90°.

又∵∠QB’C=∠OB’C’

∴△B’CQ∽△B’C’O.

（2）解：∵點A（-8,0）C（0，6），∴OA=8，OC=6.

∵四邊形OABC是矩形，∴BC=OA=8.

根據題意，知B’C’=BC=8,OC’=OC=6.

∴OB’=10,B’C=OB’-OC=4.

由（1）知△B’CQ∽△B’C’O，∴，即.∴CQ=3.

∴點Q的坐標為（3,6）.

（Ⅱ）（1）證明：由題意知A’B’=AB=OC，∠BCO=∠B’CO=∠A’=90°，

又∵∠CPO=∠A’PB’∴ △PCO≌△PA’B’.

（2）解：根據題意，知A’O=AO=8.

設CP=x，由（1）知△PCO≌△PA’B’，

∴A’P=CP=x,A’B’=OC=6,PB’=PO=A’O-A’P=8-x.

在Rt△PA’B’中，，即，

解得x=，∴CP=.

∴點P的坐標為（，6）.

（Ⅲ）對于△PQO，PQ邊上的高CO等于PO邊上的高C’O

設BP=n

1°當P在BQ上時，∵BQ=2BP∴BP=PQ=n

在Rt△PCO中，由勾股定理得解得

∴PC=BC-BP=8-=故P點坐標為（，6）

2°當P在QB的延長線上時，∵BQ=2BP∴PQ= 3BP=3n

在Rt△PCO中，由勾股定理得解得或（舍）

∴PC=BC+BP=8+=故P點坐標為（-9-，6）

綜上所述，點P的坐標為（-9-，6）或（，6）.