Question

【題目】已如，在平面直角坐標系中，點的坐標為、點的坐標為，點在軸上，作直線.點關于直線的對稱點剛好在軸上，連接.

（1）寫出一點的坐標，并求出直線對應的函數表達式；

（2）點在線段上，連接、、，當是等腰直角三角形時，求點坐標；

（3）如圖②，在（2）的條件下，點從點出發以每秒2個單位長度的速度向原點運動，到達點時停止運動，連接，過作的垂線，交軸于點，問點運動幾秒時是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1），（2）點坐標為，（3）點運動時間為1秒或秒或3.75秒.

【解析】

（1）由勾股定理求出AB=10，即可求出A=10，從而可求出，設C（0，m），在直角三角形中，運用勾股定理可求出m的值，從而確定點C的坐標，再利用待定系數法求出AC的解析式即可；

（2）由垂直平分可證，過點作軸于點，軸于點，證明可得DE=DF，設D（a，a）代入求解即可；

（3）分三種情況：①當時，②當時，③當時，分類討論即可得解：

（1），

，

，

，

，

，

點、關于直線的對稱，

垂直平分，

，

，

設點坐標為，則，

，

在中，，

，

，

點坐標為.

設直線對應的函數表達式為，

把代入，

得，

解得，

直線對應的函數關系是為，

（2）垂直平分，

，

是等腰直角三角形，

過點作軸于點，軸于點.

，

，，

，

，

，

，

，

設點坐標為，

把點代入，

得

，

點坐標為，

（3）同（2）可得

又

①當時，

軸，

點運動時間為1秒.

②當時，

，

點運動時間為秒.

③當時，

設，則

在中，，

點運動時間為3.75秒.

綜上所述，點運動時間為1秒或秒或3.75秒.