Question

【題目】如圖①，已知△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點，作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．

（1）試猜想線段BG和AE的關系為；

（2）如圖②，將正方形DEFG繞點D按逆時針方向旋轉α（0°＜α≤90°），判斷（1）中的結論是否仍然成立，證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）BG＝AE．AE⊥BG，理由見解析；（2）成立，理由見解析.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；
（2）如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；

（1）結論：BG=AE，BG⊥AE．
理由：如圖1，延長EA交BG于K．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△BDG和△ADE中，
，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE，∠BGD=∠AED，
∵∠GAK=∠DAE，
∴∠AKG=∠ADE=90°，
∴EA⊥BG．
（2）①成立BG=AE．
理由：如圖2，連接AD，延長EA交BG于K，交DG于O．

∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC中點，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°．
∵四邊形EFGD為正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠BGD=∠AED，
∵∠GOK=∠DOE，
∴∠OKG=∠ODE=90°，
∴EA⊥BG．