Question

【題目】如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4-x于C、D兩點．拋物線y=ax2+bx+c經過O、C、D三點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點M為直線OD上的一個動點，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，問是否存在這樣的點M，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時點M的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=-x2+x，（2）或或m=．

【解析】

試題分析：（1）先確定出點C，D的坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式，

（2）根據題意設出點M的坐標，表示出點N坐標，以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形只要AC=MN，用它建立方程求出m即可．

試題解析：（1）∵過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4-x于C、D兩點，

∴點C（1，3），D（3，1），

∵拋物線y=ax2+bx+c經過O、C、D三點，

∴c=0，a+b=3，9a+3b=1．

∴a=-，b=，c=0，

∴拋物線解析式為y=-x2+x，

（2）∵A（1，0），C（3.0），

∴AC=3，

∵AC⊥x軸，MN⊥x軸，

∴AC∥MN，

∵以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，

∴AC=MN，

∵點D坐標為（3，1），

∴直線OD解析式為y=x，

∵點M為直線OD上的一個動點，

∴設M（m，m），

∴N（m，-m2+m），

∴MN=|-m2+m-m|=|4m2-12m|，

∵AC=MN，

∴|4m2-12m|=3，

∴|4m2-12m|=9，

①當4m2-12m＞0時，即m＜0，或m＞4，

∴4m2-12m=9，

∴m=，

∴點M的橫坐標為或，

②當4m2-12m＜0時，即0＜m＜4，

∴4m2-12m=-9，

∴m=，

即：存在符合條件的點M，求此時點M的橫坐標為或或m=．