Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（1，1）、B（0，4）兩點(diǎn)，M為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)由（1）求得的拋物線的對(duì)稱軸為直線l，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，AC與直線l相交于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OD、OC．請(qǐng)直接寫出C與D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求∠COM+∠DOM的度數(shù)．

Answer 1

（1）由拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（1，1）、B（0，4）兩點(diǎn)，
得

1+b+c=1 c=4.

解得

b=-4 c=4.

∴所求拋物線的表達(dá)式為y=x²-4x+4．
由y=x²-4x+4，得y=（x-2）²．
即得該拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．

（2）由（1）得拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2．
根據(jù)題意，C與D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是C（3，1）、D（2，1）．
設(shè)點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接OE，CE．
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（2，-1），且∠DOM=∠EOM．
利用兩點(diǎn)間距離公式，
得OC=

32+12

=

10

，
OE=

22+(-1)2

=

5

，
CE=

(3-2)2+(1+1)2

=

5

．
∴OE=CE，OC²=10，OE²+CE²=5+5=10．
即得OE²+CE²=OC²．
∴∠OEC=90°
于是，由OE=CE，得∠COE=45°．
即得∠COM+∠DOM=∠COE=45°．