Question

某校研究性學習小組在研究有關二次函數及其圖象性質的問題時，發現了兩個重要結論．一是發現拋物線y=ax²+2x+3（a≠0），當實數a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發現當實數a變化時，若把拋物線y=ax²+2x+3的頂點的橫坐標減少

1

a

，縱坐標增加

1

a

，得到A點的坐標；若把頂點的橫坐標增加

1

a

，縱坐標增加

1

a

，得到B點的坐標，則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax²+2x+3上．
（1）請你協助探求出當實數a變化時，拋物線y=ax²+2x+3的頂點所在直線的解析式；
（2）問題（1）中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎？并說明理由；
（3）在他們第二個發現的啟發下，運用“一般-一特殊-一般”的思想，你還能發現什么？你能用數學語言將你的猜想表述出來嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先將拋物線y=ax²+2x+3轉化成頂點式，寫出用a表示的頂點坐標，消去a寫出y關于x的表達式；
（2）觀察（1）中的頂點坐標，-

1

a

≠0，即橫坐標≠0，則縱坐標≠3；
（3）首先寫出拋物線的一般形式，再轉化成頂點式，將頂點的橫坐標增加

1

a

，代入一般式，驗證縱坐標也增加

1

a

．

解答：解：（1）y=ax²+2x+3=a(x+

1

a

)2+3-

1

a

拋物線y=ax²+2x+3的頂點坐標為( -

1

a

，3-

1

a

)
∴拋物線y=ax²+2x+3的頂點所在直線的解析式為y=x+3
（2）當a≠0時，頂點的橫坐標-

1

a

≠0
∴（0，3）點不是拋物線的頂點．
（3）拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）
由題意得A（-

b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

）
把x=-

b+2

2a

代入y=ax²+bx+c=a（-

b+2

2a

）²+b（-

b+2

2a

）+c=

4ac-b2+4

4a

∴點A在拋物線y=ax²+bx+c上，同理點B也在拋物線y=ax²+bx+c上．

點評：本題是二次函數的綜合題．主要考查同學們對頂點式的理解，即靈活運用能力，屬于一道開發性題目．