Question

某校研究性學習小組在研究相似圖形時，發現相似三角形的定義、判定及其性質，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定義：“圓心角相等且半徑和弧長對應成比例的兩個扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性質：弧長比等于半徑比、面積比等于半徑比的平方…．請你協助他們探索這個問題．
（1）寫出判定扇形相似的一種方法：若

 

，則兩個扇形相似；
（2）有兩個圓心角相等的扇形，其中一個半徑為a、弧長為m，另一個半徑為2a，則它的弧長為

 

；
（3）如圖1是一完全打開的紙扇，外側兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB為30cm，現要做一個和它形狀相同、面積是它一半的紙扇（如圖2），求新做紙扇（扇形）的圓心角和半徑．

Answer 1

分析：（1）扇形的半徑是不同的，扇形相似，只需圓心角相等即可；
（2）相似扇形的半徑之比應等于弧長之比，弧長也應是m的2倍；
（3）圓心角應不變，半徑之比是面積之比的算術平方根．

解答：解：（1）答案不唯一，
例如“圓心角相等”、“半徑和弧長對應成比例”（3分）

（2）m=

nπa

180

，
∴n=

180m

πa

，
弧長=

180m πa πa

180

=2m．（4分）

（3）∵兩個扇形相似，
∴新扇形的圓心角為120°（2分）
設新扇形的半徑為r，
則（

r

30

）²=

1

2

?r=15

2

．
即新扇形的半徑為15

2

cm．（3分）

點評：相似扇形的圓心角相等，對應邊，弧長，周長之比等于相似比，面積比等于相似比的平方．