Question

如圖①，將兩塊全等的三角板拼在一起，其中△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，EF⊥FP且EF=FP．
（1）在圖①中，請你通過觀察、測量，猜想并直接寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系，并證明；
（2）將三角板△EFP沿直線l向左平移到圖②的位置時，EP交AC于點Q，連接AP、BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系，并證明你的猜想．

Answer 1

（1）AB=AP且AB⊥AP，
證明：∵AC⊥BC且AC=BC，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=（180°-∠ACB）=45°，
又∵△ABC與△EFP全等，
同理可證∠PEF=45°，
∴∠BAP=45°+45°=90°，
∴AB=AP且AB⊥AP．

（2）BQ與AP所滿足的數量關系是AP=BQ，位置關系是AP⊥BQ，
證明：延長BQ交AP于G，
由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，
∴∠PQC=45°=∠QPC，
∴CQ=CP，
∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC，
∴在△BCQ和△ACP中
，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBQ+∠BQC=90°，
∵∠CQB=∠AQG，
∴∠AQG+∠PAC=90°，
∴∠AGQ=180°-90°=90°，
∴AP⊥BQ．
分析：（1）根據等腰直角三角形性質得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可；
（2）求出CQ=CP，根據SAS證△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根據三角形內角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可．
點評：本題考查了等腰直角三角形性質和全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點，主要考查了學生的推理能力和猜想能力，題目比較好．