Question

【題目】正方形ABCD與正方形DEFG按如圖1放置，點A，D，G在同一條直線上，點E在CD邊上，AD＝3，DE＝，連接AE，CG

（1）線段AE與CC的關系為______；

（2）將正方形DEFG繞點D順時針旋轉一個銳角后，如圖2，請問（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由

（3）在正方形DEFG繞點D順時針旋轉一周的過程中，當∠AEC＝90°時，請直接寫出AE的長．

Answer 1

【答案】（1）AE＝CG，AE⊥CG；（2）仍然成立；理由見解析；（3）AE的長為2+1或2﹣1．

【解析】

（1）延長AE交CG于點H，證△ADE≌△CDG，可得到AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，再證∠CHE＝90°，即可得出結論；

（2）設AE與CG交于點H，證∴△ADE≌△CDG，可得到AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，再證，∠CHP＝90°，即可得出結論；

（3）分兩種情況討論，當點E旋轉到線段CG上時，過點D作DM⊥AE于點M，構造等腰直角三角形DME和直角三角形ADM，可通過勾股定理分別求出ME，AM的長即可；當點E旋轉到線段CG的延長線上時，過點D作DN⊥CE于點N，構造等腰直角三角形DNE和直角三角形CND，可通過勾股定理分別求出NE，CN的長，再求出CE的長，在Rt△AEC中通過勾股定理可求出AE的長．

（1）線段AE與CG的關系為：AE＝CG，AE⊥CG，

理由如下：

如圖1，延長AE交CG于點H，

∵四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形，

∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADE＝∠CDG＝90°，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，

∵∠EAD+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEH，

∴∠GCD+∠CEH＝90°，

∴∠CHE＝90°，即AE⊥CG，

故答案為：AE＝CG，AE⊥CG；

（2）結論仍然成立，理由如下：

如圖2，設AE與CG交于點H，

∵四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形，

∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°，

∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，

即∠ADE＝∠CDG，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，

∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH，

∴∠GCD+∠CPH＝90°，

∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG，

∴AE＝CG，AE⊥CG，

∴①中的結論仍然成立；

（3）如圖3﹣1，當點E旋轉到線段CG上時，過點D作DM⊥AE于點M，

∵∠AEC＝90°，∠DEG＝45°，

∴∠AED＝45°，

∴Rt△DME是等腰直角三角形，

∴ME＝MD＝DE＝1，

在Rt△AMD中，ME＝1，AD＝3，

∴AM＝＝＝2，

∴AE＝AM+ME＝2+1；

如圖3﹣2，當點E旋轉到線段CG的延長線上時，過點D作DN⊥CE于點N，

則∠END＝90°，

∵∠DEN＝45°，

∴∠EDN＝45°，

∴Rt△DNE是等腰直角三角形，

∴NE＝ND＝DE＝1，

在Rt△CND中，ND＝1，CD＝3，

∴CN＝＝＝2，

∴CE＝NE+CN＝2+1，

∵AC＝AD＝3，

∴在Rt△AEC中，

AE＝＝＝2﹣1，

綜上所述，AE的長為2+1或2﹣1．