Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．

(1)求拋物線的函數關系式；

(2)設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；

(3)在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3．（2）（1，2）．（3）M（1，）（1，-）（1，1）（1，0）．

【解析】

試題分析：（1）直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數即可．

（2）由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點．

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．

試題解析：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：

∴拋物線的解析式：y=-x2+2x+3．

（2）連接BC，直線BC與直線l的交點為P；

∵點A、B關于直線l對稱，

∴PA=PB，

∴BC=PC+PB=PC+PA

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

，解得：

∴直線BC的函數關系式y=-x+3；

當x=1時，y=2，即P的坐標（1，2）．

（3）拋物線的對稱軸為：x=-=1，設M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），則：

MA2=m2+4，MC2=（3-m）2+1=m2-6m+10，AC2=10；

①若MA=MC，則MA2=MC2，得：

m2+4=m2-6m+10，得：m=1；

②若MA=AC，則MA2=AC2，得：

m2+4=10，得：m=±；

③若MC=AC，則MC2=AC2，得：

m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；

當m=6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；

綜上可知，符合條件的M點，且坐標為M（1，）（1，-）（1，1）（1，0）．