Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（1）當∠BQD=30°時，求AP的長；
（2）當運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠BQD=30°，

∴∠QPC=90°，

設AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，

∴QC=QB+BC=6+x，

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，

∴PC= QC，即6﹣x= （6+x），解得x=2，

∴AP=2

（2）解：當點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．理由如下：

作QF⊥AB，交直線AB于點F，連接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ=∠AEP=90°，

∵點P、Q速度相同，

∴AP=BQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，

在△APE和△BQF中，

∵∠AEP=∠BFQ=90°，

∴∠APE=∠BQF，

，

∴△APE≌△BQF（AAS），

∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，

∴四邊形PEQF是平行四邊形，

∴DE= EF，

∵EB+AE=BE+BF=AB，

∴DE= AB，

又∵等邊△ABC的邊長為6，

∴DE=3，

∴點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．

【解析】（1）由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC= QC，即6﹣x= （6+x），求出x的值即可；（2）作QF⊥AB，交直線AB于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP=BQ，再根據全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE= AB，由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3，故當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．