Question

如圖，已知正方形ABCD，點E是BC上一點，以AE為邊作正方形AEFG。

（1）連結GD，求證△ADG≌△ABE；
（2）連結FC，求證∠FCN=45°；
（3）請問在AB邊上是否存在一點Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形？若存在，請證明；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）根據同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根據“SAS”證得△ADG≌△ABE；（2）過F作BN的垂線，設垂足為H，首先證△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根據AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可證得結果；（3）存在
（3）在AB上取AQ=BE，連接QD，首先證△DAQ、△ABE、△ADG三個三角形全等，易證得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得證．

試題分析：（1）根據同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根據“SAS”證得△ADG≌△ABE；
（2）過F作BN的垂線，設垂足為H，首先證△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根據AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可證得結果；
（3）在AB上取AQ=BE，連接QD，首先證△DAQ、△ABE、△ADG三個三角形全等，易證得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可證得結果．
（1）如圖

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形
∴DA=BA，EA=GA，∠BAD=∠EAG=90°
∴∠DAG=∠BAE
∴△ADG≌△ABE；
（2）過F作BN的垂線，設垂足為H

∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°
∴∠BAE=∠HEF
∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF
∴AB=EH，BE=FH
∴AB=BC=EH
∴BE+EC=EC+CH
∴CH=BE=FH
∴∠FCN=45°；
（3）在AB上取AQ=BE，連接QD

∵AB=AD
∴△DAQ≌△ABE
∵△ABE≌△EHF
∴△DAQ≌△ABE≌△ADG
∴∠GAD=∠ADQ
∴AG、QD平行且相等
又∵AG、EF平行且相等
∴QD、EF平行且相等
∴四邊形DQEF是平行四邊形
∴在AB邊上存在一點Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形．
點評：本題知識點較多，難度較大，熟練掌握平面圖形的基本概念是解答本題的關鍵.